Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос: «Основные задачи и действия на обыкновенные дроби». Если у Вас нет времени на чтение или статья не полностью решает Вашу проблему, можете получить онлайн консультацию квалифицированного юриста в форме ниже.
В математике выделяют дроби правильные и неправильные. Правильные — те, у которых числитель меньше знаменателя. Например: 1/3, 2/5, 4/12. Но бывает и так, что числитель становится больше знаменателя. Если объяснять предметно, то взято больше частей пирога, чем было тех, на которые он поделен. Такое вполне возможно и в жизни, и в математике.
Дроби. Вычитание дробей.
Если сравниваются дроби с одинаковыми знаменателями, то очевидно, что большей будет та, числитель у которой больше.
Пример:
1/5 , так как знаменатели одинаковы, а в числителе 1 меньше 5.
Если сравниваются дроби с одинаковыми числителями, то большей будет та, знаменатель у которой меньше.
Пример:
1/2 > 1/8, так как числители одинаковы, а в знаменателе 8 больше 2.
Дроби же с разными знаменателями так просто не сравнишь. Нужно сперва определить их общий знаменатель и привести к нему обе дроби. Правила этой операции были приведены выше. Получим дроби, сравнить которые можно очень легко.
Пример:
Сравниваем дроби 2/5 и 1/10. Для этого приводим их к общему знаменателю — 10. Получаем 4/10 и 1/10. Теперь сравниваем дроби, уже имеющие одинаковые знаменатели: 4/10 > 1/10.
Есть один секрет, который нужно запомнить. Если одна из сравниваемых дробей неправильная, то она всегда больше правильной. Если подумать и вспомнить свойства дробей, то все становится понятно. Ведь неправильная дробь всегда будет больше единицы, тогда как правильная, наоборот, всегда будет меньше.
Если Вам нравится этот сайт…
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
В прошлый раз мы научились складывать и вычитать дроби (см. урок «Сложение и вычитание дробей »). Наиболее сложным моментом в тех действиях было приведение дробей к общему знаменателю.
Теперь настала пора разобраться с умножением и делением. Хорошая новость состоит в том, что эти операции выполняются даже проще, чем сложение и вычитание. Для начала рассмотрим простейший случай, когда есть две положительные дроби без выделенной целой части.
Чтобы умножить две дроби, надо отдельно умножить их числители и знаменатели. Первое число будет числителем новой дроби, а второе — знаменателем.
Чтобы разделить две дроби, надо первую дробь умножить на «перевернутую» вторую.
Обозначение:
Из определения следует, что деление дробей сводится к умножению. Чтобы «перевернуть» дробь, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Поэтому весь урок мы будем рассматривать в основном умножение.
В результате умножения может возникнуть (и зачастую действительно возникает) сократимая дробь — ее, разумеется, надо сократить. Если после всех сокращений дробь оказалась неправильной, в ней следует выделить целую часть. Но чего точно не будет при умножении, так это приведения к общему знаменателю: никаких методов «крест-накрест», наибольших множителей и наименьших общих кратных.
Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. Например, 1/9 + 4/9 = 5/9.
Чтобы сложить две простые дроби с разными знаменателями, следует: привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОК) и сложить числители полученных дробей (знаменатель будет равен НОК). Если получилась неправильная дробь, то ее нужно преобразовать в смешанную и при необходимости сократить. Например, 1/3 + 2/4 = 4/12 + 6/12 = 10/12 = 5/6.
Чтобы сложить две смешанные дроби с разными знаменателями, следует: привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОК), отдельно сложить целые части и числители полученных дробей (знаменатель будет равен НОК). Если получилась неправильная дробь, то нужно выделить целую часть и прибавить ее к полученной целой части, при необходимости сократить.
Алгоритм действий при вычитании двух дробей:
- Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
- Привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби.
- Вычесть одну дробь из другой, путем вычитания числителя второй дроби из числителя первой.
- Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
- Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.
Доля — это каждая равная часть, из суммы которых состоит целый предмет.
Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные.
У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарите шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого.
- Половина — одна вторая доля предмета или 1/2.
- Треть — одна третья доля предмета или 1/3.
- Четверть — одна четвертая доля предмета или 1/4.
Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ее ширина треть метра.
Обзор урока в шестом классе: упрощение дробей
На этом уроке я покажу ученикам два метода упрощения дробей. Первый метод предназначен для студентов, которым было трудно найти GCF на предыдущих уроках, но которые комфортно понимают правила делимости. Второй метод предназначен для студентов, которым не только удобно находить GCF, но и они могут делать это с помощью мысленной математики.
Мы обсудим оба метода и рассмотрим примеры для каждого метода.
Метод 1 — Найдите общий множитель
Пр. 1 — Упростить 40/48
Шаг 1. Найдите общий множитель для числителя и знаменателя.
Напомню студентам, что для нахождения общего множителя можно использовать правила делимости. Что такое общий множитель 40 и 48? Большинство студентов скажут 2, потому что они оба четные числа. На доске я буду использовать 2, чтобы показать студентам повторяющиеся шаги использования наименьшего общего множителя.
Шаг 2 — Разделите числитель и знаменатель на общий множитель.
Студенты должны иметь ответ 20/24. Можно ли снова уменьшить дробь? Откуда вы знаете?
Шаг 3 — Повторяйте процесс, пока не исчезнут общие факторы.
Окончательный ответ будет 5/6. Как узнать, что вы полностью упростили дробь? Какие наблюдения вы можете сделать?
У студентов может быть несколько ответов:
- 5 — простое число
- 5 нечетное и 6 четное
- Единственное число, которое можно разделить на 5 и 6, — 1.
- 5 и 6 являются взаимно простыми.
Хотя все приведенные выше наблюдения верны, я хочу, чтобы студенты подумали, какое из них верно для всех упрощенных дробей. При необходимости приведу еще несколько примеров упрощенных дробей. Студенты должны прийти к выводу, что если числитель и знаменатель имеют gcf равное 1, относительно простое, то дробь полностью упрощается.
Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю
Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.
Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.
Вычитание дробей из целого числа
Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:
7 — 4/9 = (7 х 9)/9 — 4/9 = 53/9 — 4/9 = 49/9.
Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.
Практически каждый пятиклассник после первого знакомства с обыкновенными дробями находится в небольшом шоке. Мало того, что нужно еще понять суть дроби, так с ними еще придется выполнять арифметические действия. После этого маленькие ученики будут систематически допрашивать своего учителя, разузнавать когда же эти дроби кончатся.
Чтобы избежать подобных ситуаций, достаточно всего лишь как можно проще объяснить детям эту нелегкую тему, а лучше в игровой форме.
Чтобы понять все это на наглядном примере, давайте рассмотрим следующую проблему. 1 кг яблок стоит 40 пенсов. Сколько будет стоить 3 кг этих яблок?».
И ежу понятно, что такую проблему можно решить, умножив количество килограммов на стоимость одного килограмма. То есть 40 * 3 = 120 рублей.
Давайте теперь попробуем понять и решить подобную проблему в несколько шагов. Давайте посчитаем: «1 кг яблок стоит 40 рублей. Какова стоимость 3/4 кг такого яблока?».
Как и в предыдущей задаче, эту задачу также можно решить, умножив стоимость одного килограмма яблок на требуемый вес.
В этой задаче можно использовать любую другую часть, независимо от того, 2/3 или 3/7, без изменения смысла и условий задачи.
Как мы видели, то же самое действие можно применить к решению проблемы, изменив только цифры, не затрагивая основополагающие понятия проблемы. Это называется умножением. Все великие вещи просты, не так ли?
Но давайте вернемся к нашему главному вопросу: умножить целое на часть. Как мы это делаем?
Давайте снова рассмотрим нашу любимую проблему с яблоками. Давайте посмотрим на приведенные там цифры.
Снова обратившись к определению, мы должны найти 3/4 от 40. Давайте начнем с чего-то более простого и найдем четверть от 40, а затем найдем 3/4.
Одна четверть от 40 (т.е. одна четверть) равна 40/4, и
3/4 от 40 — это (3 * 40)/4.
Что у нас есть:.
Рассмотрим другой случай: чему равно 40 * 5/8?
- 1 /8 от 40 это 40 /8;
- 5 /8 от 40 составляют (5*8)/40;
- В итоге получается: 40 * 5/8 = (40*5)/8 = 5*5 = 25.
Умножение смешанной дроби на число
При необходимости умножения смешанной дроби на натуральное число следует произвести данное арифметическое действие с целым числом этой дроби и её числителем.
| 1 | 2 5 | × | 3 | = | 1 × 3 | + | 2 × 3 5 | = | 3 | 6 5 | = | 4 | 1 5 |
Задание 1
Разделите дробь 5/6
на число 5.
Решение
5/6
: 5 =
5/6⋅5
=
5/30
=
1/6
Задание 2
Разделите дробь 4/15
на
2/9
.
Решение
4/15
:
2/9
=
4/15
⋅
9/2
=
4⋅9/15⋅2
=
36/30
=
6/5
= 1
1/5
Задание 3
Найдите частное от деления дроби 6
1/4
на дробь 4
2/3
.
Решение
Т.к. даны смешанные дроби, сначала запишем их в виде неправильных, потом выполним требуемое действие.